Betragsungl.links u rechts | | < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 02.11.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Betragsungleichung |x+1| [mm] \le [/mm] |x-2| |
Hallo
wollte euch fragen ob das so richtig ist.
Im 1. Fall sind beide Terme im Betrag positiv
1. Fall x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1 dazu noch x - 2 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 2
x+1 [mm] \le [/mm] x-2
1 [mm] \le [/mm] -2
[mm] L_{1} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]
Was sagt das generell aus wenn kein x mehr übrig bleibt sondern links und rechts nur noch ne Zahl steht und wie ist dann damit für die weiteren Berechnungen umzugehen?
Wie muss hier die Lösungsmenge lauten?
Im 2. Fall ist |x+1| wieder positiv abe |x-2| negativ
2. Fall x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1 dazu noch x - 2 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 2
x [mm] \in [/mm] [-1,2)
x+1 [mm] \le [/mm] - x + 2
x [mm] \le \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] L_{2} [/mm] = {x| -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] }
Im 3. Fall ist dieses mal |x+1| negativ aber |x-2| positiv
Fall x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 dazu noch x - 2 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 2
kein Intervallbereich vorhanden, da x nicht kleiner als -1 und gleichzeitig größer gleich 2 sein kann.
[mm] L_{3} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
im 4. Fall dieses mal |x+1| negativ und auch |x-2| negativ
x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 dazu noch x - 2 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 2
- x-1 [mm] \le [/mm] - x + 2
-1 [mm] \le [/mm] 2 auch hier wieder meine Frage was ich jetzt hier als Lösungsmenge zum 4. Fall hinzuschreiben habe.
[mm] L_{4} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
könnte die Gesamtlösungsmenge dann so aussehen?
L = [mm] L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} \cup L_{4} [/mm] = [mm] \emptyset \cup [/mm] [-1, [mm] \bruch{1}{2}] \cup \emptyset \cup \emptyset [/mm]
Sieht ein bissel komisch aus...
Danke vorab
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Fr 02.11.2012 | | Autor: | betina |
Danke dir 
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[mm]|x+1|[/mm] = Abstand von [mm]x[/mm] zu -1; [mm]|x-2|[/mm] = Abstand von [mm]x[/mm] zu 2
[mm]|x+1| = |x-2|[/mm]
Der Abstand von [mm]x[/mm] zu -1 ist gleich dem Abstand von [mm]x[/mm] zu 2.
Das trifft nur für die Mitte [mm]x = \frac{1}{2}[/mm] von -1 und 2 zu.
[mm]|x+1| \leq |x-2|[/mm]
Der Abstand von [mm]x[/mm] zu -1 ist höchstens so groß wie der Abstand von [mm]x[/mm] zu 2.
Das trifft dann auf alle Zahlen [mm]x \leq \frac{1}{2}[/mm] zu.
[mm]L = \left( - \infty, \frac{1}{2} \right][/mm] ist die Lösungsmenge der Ungleichung.
Man kann den Gedankengang gut in einer Skizze am Zahlenstrahl nachvollziehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Sa 03.11.2012 | | Autor: | fred97 |
|x+1| $ [mm] \le [/mm] $ |x-2| [mm] \gdw (x+1)^2 \le (x-2)^2
[/mm]
Jetzt Du
FRED
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Dieser Lösungsweg ist zweifellos elegant. Man sollte den Fragesteller aber darauf hinweisen, daß er nur unter eingeschränkten Voraussetzungen begehbar ist: nämlich der Nichtnegativität der beiden Seiten der Ungleichung a priori. Sonst besteht die Gefahr, daß er auch sonst bedenkenlos quadriert und sich dabei ins Unglück stürzt.
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